Приемы быстрого счета в математике


Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет - это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются - как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети - ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды - ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета - простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем - единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел - это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247 

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения - это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения - с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

  • умножить на 4 - это дважды умножить на 2;

  • умножить на 6 - это значит умножить на 2, а потом на 3;

  • умножить на 8 - это трижды умножить на 2;

  • умножить на 9 - это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

  • разделить на 4 - это дважды разделить на 2;

  • разделить на 6 - это сначала разделить на 2, а потом на 3;

  • разделить на 8 - это трижды разделить на 2;

  • разделить на 9 - это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 - это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример:

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко - это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

  • Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
  • Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
  • Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9.  А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения?  Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь. 

Устный счёт на автомате

  • Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

  • Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

  • В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» - упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку - и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

myintelligentkids.com

Приемы, облегчающие устный счет и запоминание таблицы умножения

Сколько вам нужно времени, чтобы выполнить довольно простое вычисление: например от 234 отнять 112? Девочки с фото решают от 70 до 90 примеров разной сложности за... 1 минуту.

Приемы быстрого счета: магия, доступная всем

Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счета жизнь невозможна. Но как тяжело иногда дается эта наука! Попробуйте быстро перемножить 65 на 23? Не получается? Рука сама тянется за мобильником с калькулятором. А, между тем, полуграмотные русские крестьяне 200 лет назад спокойно делали это, пользуясь лишь первым столбиком таблицы умножения - умножением на два. Не верите? А зря. Это - реальность.

"Компьютер" каменного века

Даже не зная чисел, люди уже пытались считать. Если нашим предкам, обитавшим в пещерах и носившим шкуры, нужно было поменяться чем-либо с соседним племенем, они поступали просто: расчищали площадку и выкладывали, например, наконечник стрелы. Рядом ложилась рыба или горсть орехов. И так до тех пор, пока не заканчивался один из обменных товаров, или глава "торговой миссии" не решал, что уже хватит. Примитивно, но по-своему очень удобно: и не запутаешься, и не обманут.

С освоением скотоводства задачи усложнились. Большое стадо нужно было как-то считать, чтобы знать, все ли козы или коровы на месте. "Счетной машиной" неграмотных, но умных пастухов стала долбленая тыква с камешками. Как только животное покидало загон, пастух клал в тыкву камешек. Вечером стадо возвращалось, и пастух вынимал по камешку с каждым входившим в загон животным. Если тыква пустела, он знал, что со стадом все в порядке. Если оставались камешки - шел искать потерю.

Когда появились цифры, дело пошло веселее. Хотя еще долго у наших предков в ходу было лишь три числительных: "один", "пара" и "много".

Можно ли считать быстрее компьютера?

Обогнать устройство, выполняющее сотни миллионов операций в секунду? Невозможно… Но тот, кто говорит так, жестоко лукавит, или просто кое-что умышленно упускает из вида. Компьютер - это лишь набор микросхем в пластике, он не считает сам по себе.

Поставим вопрос по-другому: может ли человек, считая в уме, обогнать того, кто выполняет вычисления на компьютере? И здесь ответ - да. Ведь, чтобы получить ответ от "черного чемоданчика", данные в него необходимо сначала ввести. Это будет делать человек при помощи пальцев или голосом. А все эти действия имеют ограничения по времени. Непреодолимые ограничения. Сама природа поставила их человеческому телу. Всему - кроме одного органа. Мозга!

Калькулятор умеет выполнять лишь две операции: сложение и вычитание. Умножение для него - это множественное сложение, а деление - множественное вычитание.

Наш мозг поступает по-другому.

Класс, где учился будущий король математики, Карл Гаусс, как-то получил задание: сложить все числа от 1 до 100. Карл написал на своей доске абсолютно правильный ответ, как только учитель закончил объяснять задание. Он не стал прилежно складывать числа по порядку, как поступил бы любой уважающий себя компьютер. Он применил открытую им самим формулу: 101 х 50 = 5050. И это далеко не единственный прием, ускоряющий вычисления в уме.

Простейшие приемы быстрого счета

Их изучают в школе. Самое простое: если вам нужно прибавить к любому числу 9, прибавляете 10 и вычитаете 1, если 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3) и т.д.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Быстро и удобно.

Двухзначные числа складываются так же легко. Если во втором слагаемом последняя цифра больше пяти, число округляется до следующего десятка, а потом "лишнее" вычитается. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69. Если ключевая цифра меньше пятерки, то надо сложить сперва десятки, затем единицы: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.

С трехзначными числами точно так же не возникает никаких трудностей. Складываем их, как читаем, слева на право: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Гораздо проще, чем в столбик. И гораздо быстрее.

А вычитание? Принцип тот же: вычитаемое округляем до целого и добавляем недостающее: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 = 43 - 30 + 3 = 16. Быстрее чем на калькуляторе - и никаких претензий от учителя даже во время контрольной!

Нужно ли учить таблицу умножения?

Дети этого, как правило, терпеть не могут. И правильно делают. Ни к чему ее учить! Но не спешите возмущаться. Никто не утверждает, что таблицу не нужно знать.

Ее изобретение приписывают Пифагору, но, скорее всего, великий математик лишь придал законченную, лаконичную форму тому, что уже было известно. На раскопках древней Месопотамии археологи нашли глиняные таблички с сакраментальным: "2 х 2". Люди давно пользуются этой в высшей степени удобной системой вычислений и открыли множество способов, которые помогают постичь внутреннюю логику и красоту таблицы, понять - а не тупо, механически зазубрить.

В древнем Китае таблицу начинали учить с умножения на 9. Так проще, и не в последнюю очередь потому, что умножать на 9 можно "на пальцах".

Положите обе руки на стол ладонями вниз. Первый слева палец - 1, второй - 2 и т.д. Допустим, вам нужно решить пример 6 х 9. Поднимите шестой палец. Пальцы слева покажут десятки, справа - единицы. Ответ 54.

"На пальцах" можно посчитать всю таблицу Пифагора, если умеешь умножать на 2, то есть удваивать число, а с этим, как правило, легко справляются даже дети не очень способные к математике.

Пример: 8 х 7. Левая рука - первый множитель, правая - второй. На руке пять пальцев, а нам нужно 8 и 7. Загибаем на левой руке три пальца (5 + 3 = 8), на правой 2 (5 + 2 = 7). Загнутых пальцев у нас пять, значит пять десятков. Теперь перемножим оставшиеся: 2 х 3 = 6. Это единицы. Всего 56.

Это лишь один из наипростейших приемов "пальцевого" умножения Их много. "На пальцах" можно оперировать числами до 10 000!

У "пальцевой" системы есть бонус: ребенок воспринимает ее как веселую игру. Занимается охотно, испытывает массу положительных эмоций и в итоге очень скоро начинает проделывать все операции в уме, без помощи пальцев.

Делить так же можно при помощи пальцев, но это немного сложнее. Программисты до сих пор пользуются руками, чтобы перевести числа из десятичной системы в двоичную - это удобнее и гораздо быстрее, чем на компьютере. Но в рамках школьной программы научиться быстро делить можно даже без пальцев, в уме.

Допустим, нужно решить пример 91 : 13. Столбик? Нет нужды пачкать бумагу. Делимое заканчивается на единицу. А делитель - на тройку. Что там в таблице умножения самое первое, где задействована тройка, а заканчивается на единицу? 3 х 7 = 21. Семерка! Вот и все, мы ее поймали. Надо 84 : 14. Вспоминаем таблицу: 6 х 4 = 24. Ответ - 6. Просто? Еще бы!

Волшебство числа

Большинство приемов быстрого счета похоже на фокусы. Взять хотя бы известнейший пример умножения на 11. Чтобы, например, 32 х 11 нужно написать 3 и 2 по краям, а в середину поставить их сумму: 352.

Для умножения двузначного числа на 101 надо просто записать число два раза. 34 х 101 = 3434.

Для умножения числа на 4 нужно два раза умножить его на 2. Для деления - дважды разделить на 2.

Много остроумных и, главное, быстрых приемов помогают возводить число в степень, извлекать квадратный корень. Знаменитые "30 приемов Перельмана" для математически мыслящих людей будут покруче шоу Коперфильда, потому что они еще и ПОНИМАЮТ что происходит, и как оно происходит. Ну а остальные могут просто наслаждаться красивым фокусом. Например, нужно перемножить 45 на 37. Напишем числа на листе и разделим их вертикальной чертой. Левое число делим на 2, отбрасывая остаток, пока не получим единицу. Правое - умножаем до тех пор, пока число строчек в столбике не сравняется. Затем вычеркиваем из ПРАВОГО столбика все те числа, напротив которых в ЛЕВОМ столбике получился четный результат. Оставшиеся числа из правого столбика складываем. Получится 1665. Перемножьте числа привычным способом. Ответ сойдется.

"Зарядка" для ума

Приемы быстрого счета способны здорово облегчить жизнь и ребенку в школе, и маме в магазине или на кухне, и папе на производстве или в офисе. Но мы предпочитаем калькулятор. Почему? Не любим напрягаться. Нам тяжело держать числа, даже двухзначные, в голове. Почему-то не держатся.

Попробуйте выйти на середину комнаты и сесть на шпагат. Почему-то "не сажается", да? А гимнаст делает это совершенно спокойно, не напрягаясь. Тренироваться нужно!

Самый простой способ тренировки и, одновременно, разминки мозга: устный счет вслух (обязательно!) через число до ста и обратно. Утром, стоя под душем, или готовя завтрак, посчитайте: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Можно считать через три, через восемь - главное, делать это вслух. Всего через пару недель регулярных занятий вы удивитесь, насколько ПРОЩЕ станет обращаться с числами.

calculator888.ru

Проект "Приёмы быстрого счёта"

Филиал МАОУ «Аромашевская СОШ имени Героя Советского союза В.Д. Кармацкого» Новопетровская СОШ

Проект по математике
«Приёмы устного счёта»

Выполнил ученик 5 класса Нигматулин Артём

руководитель: Тишкаева Г.М.

с. Новопетрово, 2018

Содержание.

  1. Введение ………………………………………………………………………….…….3

  1. Теоретическая часть …………………………………………………………...……….5

Умножение чисел ………………………………………………………………….…..5

Деление чисел …………………………………………………………………….…...7

Возведение в квадрат двузначных чисел …………………………………………...8

  1. Практическая часть …………………………………………………………………...9

Первичная диагностика вычислительных навыков учащихся ………………..…...9

Знакомство учащихся с приемами быстрого счёта ………………………..………10

Повторная диагностика …………………………………………………..……..

Работа над презентацией ……………………………………………………..……

  1. Вывод …………………………………………………………………………………12

  2. Используемая литература ……………………………………………………………13

  3. Приложение ………………………………………………………………………….14

Введение.

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Актуальность исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное.

Поэтому мы хотим помочь учащимся нашего класса научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием.

Гипотеза исследования:

Если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и  им будет легче решать практические задачи.

  • Объект   исследования: различные приёмы счета

  • Предмет исследования: процесс вычислений.

  • Субъект исследования: учащиеся 5 класса.

Цель проекта: Изучить приёмы быстрого счета и показать эффективность их использования.

Задачи проекта:

  • рассмотреть правила вычислений, которые будут эффективными в настоящее время

  • освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы.

  • создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.

План работы над проектом: Составление плана работы над проектом

Мероприятия

Время проведения

Выбор темы

сентябрь

Изучить приемы быстрого счета

октябрь - декабрь

Провести первичную диагностику вычислительных навыков учащихся

декабрь

Знакомство учащихся с приемами устного вычисления

январь, февраль

Провести повторную проверку вычислительных навыков учащихся.

март

Работа над презентацией

март

  1. Теоретическая часть.

    1. Умножение чисел.

Умножение на 4

Чтобы умножить число на 4 нужно это число умножить на 2, а затем полученное произведение опять умножить на 2.

Например,
58·4 = (58 · 2) · 2 = 116 · 2 = 232

Умножение на 1,5

чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

34·1,5 = 34+17=51

125·1,5= 125+62,5=187,5

Умножение на 5

Чтобы число умножить на 5 нужно его разделить на 2. Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.

Например,
2682 · 5 = 2682 : 2 = 1341 (целое число, поэтому приписываем 0)
13410

5887 · 5 = 5887 : 2 = 2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435

Умножение на 9 (табличный случай).
Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел

от 10 до 20 необходимо:

к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,

Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = 323.

Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Например,

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11.

Например,

15 • 33 = 15 • 3 • 11 = 45 • 11 = 495.

Умножение двузначного числа на 101.

Чтобы двузначное число умножить на 101 нужно приписать число к самому себе.
Например,
57 · 101 = 5757

Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

Например,
32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.

  • Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

Например,
24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.

  • Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

Например,
64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80.

Например,
16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.

    1. Деление чисел

Деление на 4.

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,
2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662.

Деление на 5.

На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,— просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195×2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978×2 = 5956
Шаг2: 595,6

Деление на 0,5; 0,25; 0,125.

Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:

Например,
32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64

Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:

Например,
32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128

Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
Например,
32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256

    1. Возведение в квадрат двузначных чисел.

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например,

56² = (25+6), приписать 6² =36, 56² = 3136

58² = (25+8), приписать 8² = 64, 58² = 3364

53²= (25+3), приписать 3² = 09, 53² = 2809

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Например,

35² = 3·(3+1) и приписать 25, получим 35²= 122

75² = 7·8 и приписать 25 , 75² = 5625

85² = 8·9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.

11 х 11 =121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 =123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

  1. Практическая часть.

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков.

Практическая часть проводилась в несколько этапов:

  1. Проверка имеющихся навыков устного счета;

  2. Изучение быстрых приемов умножения, деления, возведения в квадрат;

  3. Повторная проверка навыков устного счета.

Для первичной диагностики была подготовлена проверочная работа, состоящая из 10 выражений на деление и умножение. По согласованию с учителем, мы провели его в своем классе.

Время выполнения работы – 10 минут.

Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат.

Затем одноклассников ознакомили с приемами устного вычисления при умножении и делении чисел.

После изучения приёмов устного счёта была проведена еще одна проверочная работа, аналогичная первой работе.

Результаты проверочных работ можно проанализировать на таблице:(участвовало 12 учащихся)

Проверочная

работа №1

Проверочная

работа №2

вывод

  1. Аппасова Вероника

6

7

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

  1. Валинулов Марат

5

5

выполнил верно столько заданий что и в первом

  1. Валиев Диляр

6

5

прослеживается снижение верно выполненных заданий

  1. Кучашев Динар

8

9

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

  1. Кучашев Фарух

8

9

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

  1. Майровская Анна

6

9

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

  1. Нигматулин Артём

8

9

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

  1. Рамазанова Сабрина

4

3

прослеживается снижение верно выполненных заданий

  1. Ситникова Азиза

6

9

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

10.Уразаева Эмина

5

7

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

11.Хабибулина Лера

4

9

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

12.Хамитов Эмиль

1

3

прослеживается увеличение верно выполненных заданий

время выполнения по плану/ по факту

10 мин/10

10 мин / 8 мин 46 с

сократилось время выполнения на 1 мин. 14 с.

скорость выполнения первого выполнившего

7 мин. 24 с

4 мин. 36 с

сократилось на 2 мин 88 с

средний бал

5,75

7,08

увеличился на 1,33

Анализируя данную таблицу мы видим, что у большинства ребят идёт увеличение правильно выполненных заданий, средний бал вырос на 1.33, время выполнения практической работы сократилось на 1 мин. 14 с.

Диаграмма верно выполненых ззаданий в проверочных работах

Вывод: время выполнения сократилось

Диаграмма скорости и времени выполнения проверочных работ.

Вывод: время выполнеия сакратилось, скорость счёта увеличилась.

Вывод: средний балл увеличился.

  1. Вывод.

Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень …Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении школьных предметов.

Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Результаты работы над проектом:

  • рассмотрели правила устного вычисления, которыми актуально пользоваться в наше время.

  • освоили правила быстрого счета и научили пользоваться ими учащихся класса.

  • создали памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.

  • Доказали выдвинутую гипотезу

  1. Использованные ресурсы:

  1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.

  2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.

  3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.

  4. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007.

  5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68

  6. Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).

  1. www.school.edu.ru

  2. www.ik.net/~stepanov/

  3. http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm

  4. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm 

  5. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.

  1. Приложение.

Вычисли устно:

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Аппасова Вероника

Аппасова Вероника

Вычисли устно:

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Нигматулин Артём

Нигматулин Артём

Вычисли устно:

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Уразаева Эмина

Уразаева Эмина

Вычисли устно:

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

Вычисли устно:

1 вариант

2 вариант

81 ∙ 11

62 ∙ 11

36 ∙ 11

57 ∙ 11

45 ∙ 4

62 ∙ 4

2468 : 4

6842 : 4

49 ∙ 101

52 ∙ 101

72 ∙ 11

35 ∙ 11

18 ∙ 11

68 ∙ 11

54 ∙ 4

36 ∙ 4

4628 : 4

2864 : 4

94 ∙ 101

25 ∙ 101

  1. Деление чисел

Деление на 4.

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,
2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662.

Деление на 5.

На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,— просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 : 5
Шаг1: 195×2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 : 5
Шаг1: 2978×2 = 5956
Шаг2: 595,6

Деление на 0,5; 0,25; 0,125.

Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:

Например,
32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64

Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:

Например,
32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128

Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
Например,
32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256

  1. Возведение в квадрат двузначных чисел.

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например,

56² = (25+6), приписать 6² =36, 56² = 3136

58² = (25+8), приписать 8² = 64, 58² = 3364

53²= (25+3), приписать 3² = 09, 53² = 2809

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Например,

35² = 3·(3+1) и приписать 25, получим 35²= 122

75² = 7·8 и приписать 25 , 75² = 5625

85² = 8·9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.

11 х 11 =121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 =123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

Филиал МАОУ «Аромашевская СОШ имени Героя Советского союза В.Д. Кармацкого» Новопетровская СОШ


«Приёмы устного счёта»

с. Новопетрово, 2018

умножкеепм

    1. Умножение

Умножение на 4

Чтобы умножить число на 4 нужно это число умножить на 2, а затем полученное произведение опять умножить на 2.

Например,
58·4 = (58 · 2) · 2 = 116 · 2 = 232

Умножение на 1,5

чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

34·1,5 = 34+17=51

125·1,5= 125+62,5=187,5

Умножение на 5

Чтобы число умножить на 5 нужно его разделить на 2. Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.

Например,
2682 · 5 = 2682 : 2 = 1341 (целое число, поэтому приписываем 0)
13410

5887 · 5 = 5887 : 2 = 2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435

Умножение на 9 (табличный случай).
Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел

от 10 до 20 необходимо:

к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,

Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = 323.

Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Например,

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11.

Например,

15 • 33 = 15 • 3 • 11 = 45 • 11 = 495.

Умножение двузначного числа на 101.

Чтобы двузначное число умножить на 101 нужно приписать число к самому себе.
Например,
57 · 101 = 5757

Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

Например,
32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.

Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

Например,
24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.

Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

Например,
64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80.

Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

Например,
16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.

infourok.ru

Методика "быстрого" счета

Отработка вычислительных навыков обучающихся на уроках математики с помощью приемов «быстрого» счета.

Кудинова И.К., учитель математики

МКОУ Лимановской СОШ

Панинского муниципального района

Воронежской области

«Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счёту бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они не извлекали из этого для себя никакой пользы, всё же становятся более восприимчивы, чем были раньше»

Платон

Важнейшей задачей образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий. Формирование способности и готовности учащихся реализовывать универсальные учебные действия позволяет повысить эффективность процесса обучения. Все виды универсальных учебных действий рассматриваются в контексте содержания конкретных учебных предметов.

Важную роль в формировании универсальных учебных действий играет обучение школьников навыкам рациональных вычислений. Ни у кого не вызывает сомнения, что, развитие умения рациональных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач "в уме" - важнейший элемент математической подготовки учащихся. Важность и необходимость таких упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка.

Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Очевидно, что приемы рационального счета  являются  необходимым элементом  вычислительной  культуры  в жизни каждого человека,  прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.

В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно  быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.

Анализ результатов экзаменов в 9-х и 11-х классах показывает, что наибольшее количество ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления. Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую аттестацию утрачивают навыки устного счета. Они плохо и нерационально считают, все чаще прибегая к помощи технических средств-калькуляторов. Главная задача учителя – не только сохранить вычислительные навыки, но и научить применять нестандартные приемы устного счета, которые позволили бы значительно сократить время работы над заданием.

Рассмотрим конкретные примеры различных приемов быстрых рациональных вычислений.

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

Умножение многозначных чисел на 9

1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого

2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10

Пример:

576 · 9 = 5184 379 · 9 = 3411

576 – (57 + 1) = 576 – 58 = 518 . 379 – (37 + 1) = 341 .

4 1

Умножение на 99

1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1

2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100

3. Приписываем дополнение к предшествующему результату

Пример:

27 · 99 = 2673 (сотен – 0) 134 · 99 = 13266

27 – 1 = 26 134 – 2 = 132 (сотня – 1 + 1)

100 – 27 = 73 66

Умножение на 999 любого числа

1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1

2. Находим дополнение до 1000

23 · 999 = 22977 ( тысяч – 0 + 1 = 1)

23 – 1 = 22

1000 – 23 = 977

124 · 999 = 123876 ( тысяч – 0 + 1 = 1)

124 – 1 = 123

1000 – 124 = 876

1324 · 999 = 1322676 (тысяча – 1 + 1 = 2)

1324 – 2 = 1322

1000 – 324 = 676

Умножение на 11, 22, 33, …99

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:

72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792;

35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385.

Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:

94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;

59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.

44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 × 22 =48 × 2 × (22 : 2) = 96 × 11 =1056;

24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528;

23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759;

18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792;

16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880;

16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056;

14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078;

12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056;

8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.

Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой – уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

44 × 5 = (44 : 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;

28 × 15 = (28 : 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420;

32 × 25 = (32 : 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800;

26 × 35 = (26 : 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910;

36 × 45 = (36 : 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625;

34 × 55 = (34 : 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870;

18 × 65 = (18 : 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170;

12 × 75 = (12 : 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900;

14 × 85 = (14 : 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190;

12 × 95 = (12 : 2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.

Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500

Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

Например:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4

Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 × 25 = (484 : 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100

124 × 25 = 124 : 4 × 100 = 3100

Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12100 : 25 = 12100 : 100 × 4 = 484

31100 : 25 = 31100 :100 × 4 = 1244

Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 × 75 = (32 :4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400

48 × 75 = 48 : 4 × 300 = 3600

Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400 : 75 = 2400 : 300 × 4 = 32

3600 : 75 = 3600 : 300 × 4 = 48

Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432× 50 = 432 :2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600

848 × 50 = 848 : 2 × 100 = 42400

Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

Примеры:

21600 : 50 = 21600 : 100 × 2 = 432

42400 : 50 = 42400 : 100 × 2 = 848

Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.

Примеры:

428 × 500 = (428 :2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000

2436 × 500 = 2436 : 2 × 1000 = 1218000

Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.

Примеры:

214000 : 500 = 214000 : 1000 × 2 = 428

1218000 : 500 = 1218000 : 1000 × 2 = 2436

Прежде чем научиться умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Примеры:

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;

5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;

12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8. на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.

Примеры:

632 : 8, так как т.е. 64 : 8;

712 : 8, так как т.е. 72 : 8;

304 : 8, так как т.е. 32 : 8;

376 : 8, так как т.е. 40 : 8;

208 : 8, так как т.е. 24 : 8.

Правило. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить

на 8.

Примеры:

32 × 125 = (32 : 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000;

72 × 125 = 72 : 8 × 1000 = 9000;

4000 : 125 = 4000 : 1000 × 8 = 32;

9000 : 125 = 9000 : 1000 × 8 = 72.

Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.

Примеры:

36 × 250 = (36 : 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000;

44 × 250 = 44 : 4 × 1000 = 11000.

Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.

Примеры:

9000 : 250 = 9000 : 1000 ×4 = 36;

11000 : 250 = 11000 : 1000 ×4 = 44

Умножение и деление на 37

Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.

Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 × 37 = (24 : 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888;

27 × 37 = (27 : 3) × 111 = 999.

Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3

Примеры:

999 : 37 = 999 :111 × 3 = 27;

888 : 37 = 888 :111 × 3 = 24.

Умножение на 111

Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.

Примеры:

24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;

36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;

17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.

Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.

Умножение двух рядом стоящих чисел

Примеры:

1) 12 ×13 = ?

1 × 1 = 1

1 × (2+3) = 5

2 × 3 = 6

156

2) 23 × 24 = ?

2 × 2 = 4

2 × (3+4) = 14

3 × 4 = 12

552

3) 32 × 33 = ?

3 × 3 = 9

3 × (2+3) = 15

2 × 3 = 6

1056

4) 75 × 76 = ?

7 × 7 = 49

7 × (5+6) = 77

5 × 6 = 30

5700

Проверка:

×12

13

36

12_

156

Проверка:

× 23

24

92

46_

552

Проверка:

× 32

33

96

96_

1056

Проверка:

× 75

76

450

525_

5700

Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Пример:

24 × 26 = (24 – 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624.

Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.

18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;

16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224;

23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621;

34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224;

71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609;

82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216.

Можно решать устно и более сложные примеры:

108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016;

204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024;

802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016.

Проверка:

× 802

808

6416

6416__

648016

Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.

Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.

Примеры:

72 × 32 = (7 × 3 + 2)сот. + 2 × 2 = 2304;

64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816;

53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809;

18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764;

24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;

63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;

35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Примеры:

1) 81 × 31 = ?

8 × 3 = 24

8 + 3 = 11

1 × 1 = 1

2511

81 × 31 = 2511

2) 21 × 31 = ?

2 × 3 = 6

2 +3 = 5

1 × 1 = 1

651

21 × 31 = 651

3) 91 × 71 = ?

9 × 7 = 63

9 + 7 = 16

1 × 1 = 1

6461

91 × 71 = 6461

Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001

Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Примеры:

32 × 101 = 3232

Проверка:

× 32

101

32

32__

3232

48 × 101 = 4848;

56 × 101 = 5656.

Правило. Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Примеры:

324 1001 = 324324

Проверка:

324

1001

324

324___

324324

648 1001 = 648648;

999 1001 = 999999.

Приемы устных рациональных вычислений, используемые на уроках математики, способствуют повышению общего уровня математического развития;  развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных задач, расчетов и вычислений; содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение. 

Помимо этого, рациональный счет на уроках математики играет немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка. Формируя навыки устных рациональных вычислений, учитель тем самым воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание поиска рациональных путей решения задачи. Иными словами формируются познавательные, включая логические, познавательные и знаково-символические универсальные учебные действия.

Цели и задачи школы кардинально меняются, осуществляется переход от знаниевой парадигмы к лично-ориентированному обучению. Потому важно не просто учить решать задачи по математике, а показывать действие основных математических законов в жизни, объяснять, как может учащийся применить полученные знания. И тогда у детей появится главное: желание и смысл учиться.

Список литературы

Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

Совайленко ВК. Система обучения математике в 5-6 классах. Из опыта работы.- М.:Просвещение, 1991.

Катлер Э. Мак-Шейн Р. «Система быстрого счёта по Трахтенбергу» - М. Просвещение, 1967.

Хэндли Билл «Считать в уме как калькулятор» - Минск, Попурри, 2006.

Минаева С.С. «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике.» - М.: Просвещение, 1983. 

Сорокин А.С. «Техника счета (методы рациональных вычислений)», М, Знани», 1976

http://razvivajka.ru/ Тренировка устного счета

http://gzomrepus.ru/exercises/production/ Упражнения на продуктивность и быстрый устный счет

    xn--j1ahfl.xn--p1ai

    Творческая работа учащихся по алгебре (5 класс) по теме: Хитрые приемы быстрого счета

    Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение                      «Гимназия 1636 НИКА г. Москвы»

    Исследовательская работа

    «Хитрые приемы быстрого счёта»

    Выполнила : Манукян Милена

    Обучающаяся 5 В класса

    Руководитель:

    учитель математики

     Кобзева Л.В.

    2016

                                                                   Содержание

    Введение………………………………………………………………… ……..3

    1. История счета .…………………………………….……………………. …..5

    2. Приемы вычислений…………………………………………………….. ….5

         2.1. Приемы быстрого сложения и  вычитания……………………………5

         2.2. Приемы быстрого умножения………………………………………….7

         2.3. Приемы быстрого деления………………………………………………9

    3.Практическая часть…………………………………………………………….9 Заключение………………………………………………………….……………12

    Источники………………………………………………………………………..13


    В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники,  разговор о быстром счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить быстрые вычисления вызывает откровенное удивление.

    Тема моей исследовательской работы – «Хитрые приемы быстрого счета». Я выбрала  ее, так как  считаю, что умение быстро считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.

    В данной работе я  рассмотрела некоторые способы быстрых вычислений, которые могут пригодиться на уроках математики в школе и не только.  «Каждому ученику необходимы приемы быстрого счета, их знание значительно облегчит учебу. Быстрота счета возникнет в результате длительных упражнений» - уверена наша учительница математики. Поэтому, каждый  урок начинается с устного  счета.

    Работа состоит из :

    1)Введения

    1. Теоретической  части, которая включает в себя основные приемы быстрого устного счета
    2. Практической части, которая демонстрирует эксперимент по изучению приемов устного счета
    3. Заключения
    4. Источников.

    Цель исследования:

    Найти методы быстрого счета  и показать результативность  их использования для повышения вычислительных навыков обучающихся 5 классов.

    Задачи исследования:

    1. Изучение хитрых приемов быстрого счета;
    2. Подбор материалов для тренинга;
    3. Проведение диагностики, изучение результатов исследования;
    4. Сделать выводы  по использованию данных видов устных упражнений.

    Объект исследования: учащиеся 5 «в» класса;

    Предмет исследования: приемы быстрого  счета.

    Гипотеза исследования: может ли человек быстро выполнять вычисления без калькулятора?

    Методы:

    1)Анализ литературы;

    2)Наблюдение;

    3)Диагностика;

    4) Сравнительный анализ.

    Актуальность проблемы.

    Навыки быстрого счета  помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

    Практическая значимость. Умение быстро считать в уме является неоспоримым преимуществом и достоинством того, кто таковым умением обладает. Человек, легко оперирующий цифрами, никогда не окажется обманутым при расчетах. Но самое главное, способности к вычислениям постоянно будут поддерживать в хорошей форме и развивать его умственные способности, что особенно важно в период обучения. Я считаю, что необходимо знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в практической деятельности. В данной работе я описываю краткую историю искусства счета; разбираю нестандартные приемы вычислений. Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе. Приемы устного счета нужно повторять систематически. Нижеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется теми же правилами, что и при письменных вычислениях. Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться. Наша задача – научиться работать с двузначными, а иногда и – с трехзначными числами. Этого для экономии времени достаточно.

    1.История счета

    Наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить и обменивать вещи, продукты, делать запасы. Так человек постепенно учился считать. Для счета использовали пальцы рук, ног, камешки и другие предметы. Позже появились изображения чисел. Одним из первых способов «записи» чисел, сохранившемся  и поныне, были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. Сейчас мы пользуемся арабскими цифрами, нам это привычно. Люди научились складывать и вычитать, умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В древней литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «ладьей», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие.

    Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.

    2.Приемы вычислений

    2.1 Приемы быстрого сложения и  вычитания

    Способы быстрого сложения чисел

    Поразрядное сложение чисел

    К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):

    16+38+27+86=(10+30+20+80)+(6+8+7+6)=140+27=167.

    Прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

    К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого:

    96+47=(96+40)+7=136+7=143,

    8375+473=((8375+400)+70)+3=(8775+70)+3=8845+3=8848.

    Сложение путем округления

    Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

    3916+991+1998=(4000+1000+2000)–(84+9+2)=

    =7000–95=6905.

    Сложение с использованием свойств действий с числами

    Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

    12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.

    Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

    549+94=549+(100–6)=549+100–6=643.

    Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

    504+497=500+4+500–3=1001.

    Способы быстрого вычитания чисел

    Поразрядное вычитание

    574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

    Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:

    647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

    Вычитание с использованием свойств действий с числами

     (973+747)-873=(973-873)+747=100+747=847;

    1093-(1494-907)=(1093+907)-1494=2000-1494=506.

    Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

    67-48=(67+1)-48-1=(68-48)-1=20-1=19;

    453-316=453–(313+3)=(453-313)-3=140-3=137.

    Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих

    Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

    824-396=824–(400-4)=(824-400)+4=424+4=428;

    395–98=(400–5)–(100–2)=400–100–5+2=297.

    2.2 Приемы быстрого умножения

    Способы быстрого умножения чисел

    Умножение на 4, 8,16 и т.д.

    Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:

    213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704.

    Умножение на 5, 50, 0,5

    Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:

    138*5=(138*10):2=1380:2=690.

    Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:

    87*50=(87*100):2=4350.

    Умножение на 25

    Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:

    348*25=348*100:4=8700.

    Умножение на 125

    Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

    32*125=32:8*1000=4000.

    Умножение  на 15

    Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

    129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935.

    Умножение на 11

    1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число:

    241*11=2410+241=2651.

    2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:

    34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

    68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

    Умножение двузначного числа на 101 и на 10101

    Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:

    57*101=5757,

    89*10101=898989.

    Умножение на 9, 99 и 999

    К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:

    286*9=2860–286=2574,

    23*99=2300–23=2277,

    18*999=18000–18=17982.

    Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

    8*318=8*(300+10+8)=2400+80+64=2544,

    7*196=7*(200-4)=1400–28=1372.

    2.3 Приемы быстрого деления.

    Последовательное деление

    Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:

    720:45=(720:9):5=80:5=16,

    9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.

    Деление на 5, 50 и 500

    Чтобы число разделить на 5; 50 или 500, надо это число разделить на 10;100; 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:

    42400:5=42400:10*2=8480,

    21600:50=21600:100*2=432,

    214000:500=214000:1000*2=428.

    Деление на 25

    Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:

    12100:25=12100:100*4=484.

    Деление на 125

    Чтобы число разделить на 125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000

    4000:125 =4000:100*8=320.

    3.Практическая часть 

    Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков у обучающихся 5 В класса.

    Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

    Объекты исследования: учащиеся 5В класса.

    Этапы исследования:

     1. Изучить известные способы быстрого устного счета;

    2. Подобрать материал для  проведения тренинга;

    3. Провести диагностику;

     4. Сделать анализ проведенных исследований.

    Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, на сложение, вычитание, деление и умножение, которые нужно было выполнить.

    Диагностика проводилась в несколько этапов:

     ∙ Проверка имеющихся навыков счета;

     ∙ Изучение способов сложения и вычитания;

     ∙ Ознакомление с новыми приемами умножения;

     ∙ Изучение способов деления.

    Обработка результатов показала: На 1 этапе решили: письменно решено –5 заданий,     время-5мин 20сек.,

    После изучения способов облегченных вычислений, на  втором  этапе решено 7 заданий,  время-5мин 10сек.

     После непродолжительной тренировки (неделя), в третьем контрольном замере : решено полностью  все задания, время-4мин , От замера к замеру количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно. На примере группы учеников 5«В» класса, уверенно прослеживается динамика развития вычислительных навыков приемов устного быстрого счета.

    Значит, принимаем гипотезу о том, что приемы быстрого счета существуют и с их помощью можно улучшить вычислительные навыки. Многие  не представляют свою жизнь без калькулятора.  Очень зря, ученые доказали, что люди, регулярно считающие в уме,  застрахованы от старческого маразма и раннего слабоумия. Так что вывод следует такой - практикуйтесь чаще. Способность считать быстро в уме надо развивать, независимо от его математических способностей, хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана на рынке или в магазине.

    Заключение

    Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности. В следующем году мы продолжим практическую часть нашей работы на примере учащихся уже 6-х классов, обучив их приемам быстрого счета. Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов. В заключение подчеркну, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно работать!

    Источники

    1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.

    2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол. Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1984, 192 с.

    3. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. - 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.

    4. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

    5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

    6. Ткачева М.В. Домашняя математика. - М., Просвещение,1993.

    7. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.

    8.Ткачева М.В. Домашняя математика. - М., Просвещение,1993.

    9. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

    1. www.school.edu.ru
    2. www.ik.net/~stepanov/
    3. http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm 
    4. http://www.mathematics-repetition.com/news/sekret-bstrogo-ustnogo-stcheta.html

    nsportal.ru

    Учебно-методический материал по математике на тему: Интересные приёмы быстрого счёта

    Интересные приёмы быстрого счёта

    на уроках математики в начальной школе

                    Одной из основных задач преподавания курса математики является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков. Особенно большое значение имеют устные вычисления для сознательного усвоения законов и свойств арифметических действий. 

                    Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям.

                    Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

    Вычитание 7, 8, 9. 

    Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3.

    Например, 24 – 9 = (24 – 10) + 1 = 15

    Сложение 7,8, 9. 

    Чтобы прибавить  9 к любому числу, нужно прибавить к нему 10 и вычесть 1. Чтобы прибавить  8 - нужно прибавить к нему  10 и отнять 2. и т. д.

    Например, 56 + 8 = (56 + 10) – 2 = 64

    Данные алгоритмы можно использовать при сложении и вычитании двузначных чисел.

    Например, 34 + 48 = (34 + 50) – 2 = 8

    Вычитание из 100, 1000 и т.д.

    Чтобы выполнить вычитание из 100, 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10:

    Например, 1000-648

    Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
    Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
    Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
    Ответ: 352

    Некоторые примеры из таблицы умножения можно легко посчитать, используя пальцы, «природные счеты человека». И это касается не только самых простых произведений, но и, к примеру, умножения на 9.

    Умножение на 9.

     Кладем руки ладонями вниз друг рядом с другом, пальцы нужно выпрямить. Теперь, чтобы умножить любое число на 9 просто загибаем палец под номером этого числа (считая слева). Число пальцев до загнутого будет являться десятками ответа, а после – единицами.

    Умножение на 2. 

    Для умножения на 2 некруглых чисел пробуйте округлять их до ближайших более удобных.

    Так 139 · 2 проще считать, если сначала умножить 140 на 2 (140 · 2 = 280), а потом вычесть 1·2 = 2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140).

    Итого: 140 · 2- 1·2 = 280 – 2 = 278.

    Деление на 2. 

    В сложных случаях так же пытайтесь округлять числа.

    Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 1 (1 мы получили, разделив прибавленные 2 на 2). Итого: 198 : 2 = 200 : 2 – 2 : 2 = 100 - 1= 99.

    Умножение на 5

    Для умножения на «5» достаточно число умножить на «10» и взять от результата половину.

    Например, 36 · 5 = 36 ·10 : 2 = 360 : 2 = 180

    Умножение на 9. 

    Быстро умножить любое число на 9 можно следующим образом: сначала умножьте это число на 10 (просто добавьте ноль в конце), а затем вычтите из результата само число.

    Например: 89 · 9=890-89=801.

    Умножение на 11.

    Закономерность здесь такая:

    Например, 53 · 11
    Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
    Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583

    Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10.

    Например: 29 ·11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.

    Умножение чисел от 10 до 20

     К одному из чисел прибавляем количество единиц другого, сумму умножаем на 10 и прибавляем произведение единиц чисел.

    Например:

    15 · 17 = (15 + 7) · 10 + 5 · 7 = 220 + 35 = 255

    Умножение на 25. 

    Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100).

    Так 120·25 = 120 : 4 ·100=30 ·100=3000.

    Умножение однозначного или двузначного числа на 37.

    Запомни!

    37 · 2 = 74        37 · 3 = 111                                          37 · 3 = 111                

    37 · 6 = 37 · 3 · 2 = 111· 2 = 222                                  37 · 6 = 222

    37 · 8 = 37 · (6 + 2) = 222 + 74 = 296                          37 · 9 = 333

    37 · 18 = 37 · 3 · 6 = 111·6 = 666                                 37 · 12= 444

    37 · 15 = 555 и т.д.

    Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

    Например, 85 · 85
    Шаг 1 — Умножаем первую цифру первого множителя на первую цифру второго множителя, увеличенную на единицу: 8 · (8 + 1) = 72
    Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату число25. Итог  - 7225

    Умножение двузначного числа на 101

    Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

    Например: 57 · 101 = 5757 

    Умножение на число, состоящее только из цифр 9

    Допустим, нужно умножить 154 на 999 (99, 9999 или любое другое число из девяток). Вычисляем так:

    154 · 999 = 154 · (1000 - 1) = 154000 - 154 = 153999 - 153 = 153846

                Используя некоторые из этих приемов  на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении этой школьной дисциплины.

    nsportal.ru

    5 мощных ускорителей устного счета

    В устном счете, как и везде, есть свои хитрости, и чтобы научиться быстрее считать нужно, знать эти хитрости и уметь применять на практике.

    Сегодня мы этим и займемся!

    1. Как быстро складывать и вычитать числа

    Рассмотрим три случайных примера:

    1. 25 – 7 =
    2. 34 – 8 =
    3. 77 – 9 =

    Если считать в уме обычным способом, то возникают затруднения, ведь вычитаемое число больше чем вторая цифра в первом числе и начинаются затруднения и торможения с запоминанием остатка.

    Типа 25 – 7 = (20 + 5) – (5- 2) = 20 – 2 = (10 + 10) – 2 = 10 + 8 = 18

    Согласитесь, что такие операции сложно проворачивать в голове.

    Но есть более простой способ:

    25 – 7 = 25 – 10 + 3, так как -7 = -10 + 3

    Намного проще вычесть из числа 10 и прибавить 3, чем городить сложные вычисления.

    Вернемся к нашим примерам:

    1. 25 – 7 =
    2. 34 – 8 =
    3. 77 – 9 =

    Оптимизируем вычитаемые числа:

    1. Вычесть 7 = вычесть 10 прибавить 3
    2. Вычесть 8 = вычесть 10 прибавить 2
    3. Вычесть 9 = вычесть 10 прибавить 1

    Итого получим:

    1. 25 – 10 + 3 =
    2. 34 – 10 + 2 =
    3. 77 – 10 + 1 =

    Вот теперь намного интересней и проще!

    Посчитайте сейчас представленные ниже примеры этим способом:

    1. 91 – 7 =
    2. 23 – 6 =
    3. 24 – 5 =
    4. 46 – 8 =
    5. 13 – 7 =
    6. 64 – 6 =
    7. 72 – 19 =
    8. 83 – 56 =
    9. 47 – 29 =

    2. Как быстро умножать на 4, 8 и 16

    В случае умножения мы тоже разбиваем числа на более простые, например:

    4 * 8 = ?

    Если помните таблицу умножения, то все просто. А если нет?

    Тогда нужно упростить операцию:

    Наибольшее число ставим первым, а второе раскладываем на более простые:

    8 * 4 = 8 * 2 * 2 = ?

    Удваивать числа гораздо легче, нежели чем учетверять или увосьмирять их.

    Получаем:

    8 * 4 = 8 * 2 * 2 = 16 * 2 = 32

    Примеры раскладывания чисел на более простые:

    1. 4 = 2*2
    2. 8 = 2*2 *2
    3. 16 = 22 * 22

    Отработайте этот способ на следующих примерах:

    1. 3 * 8 =
    2. 6 * 4 =
    3. 5 * 16 =
    4. 7 * 8 =
    5. 9 * 4 =
    6. 8 * 16 =

    3. Деление числа на 5

    Возьмем следующие примеры:

    1. 780 / 5 = ?
    2. 565 / 5 = ?
    3. 235 / 5 = ?

    Деление и умножение с числом 5 всегда очень простые и приятные, ведь пять это половина от десяти.

    И как их быстро решить?

    Легко!

    1. 780 / 10 * 2 = 78 * 2 = 156
    2. 565 /10 * 2 = 56,5 * 2 = 113
    3. 235 / 10 * 2 = 23,5 *2 = 47

    Для того чтобы проработать этот способ решите следующие примеры:

    1. 300 / 5 =
    2. 120 / 5 =
    3. 495 / 5 =
    4. 145 / 5 =
    5. 990 / 5 =
    6. 555 / 5 =
    7. 350 / 5 =
    8. 760 / 5 =
    9. 865 / 5 =
    10. 1270 / 5 =
    11. 2425 / 5 =
    12. 9425 / 5 =

    4. Умножение на однозначные числа

    С умножением немного сложнее, но не сильно, как бы Вы решили следующие примеры?

    1. 56 * 3 = ?
    2. 122 * 7 = ?
    3. 523 * 6 = ?

    Без специальных фишек решать их не очень приятно, но благодаря методу «Разделяй и властвуй» мы можем сосчитать их гораздо быстрее:

    1. 56 * 3 = (50 + 6)3 = 503 + 6*3 = ?
    2. 122 * 7 = (100 + 20 + 2)7 = 1007 + 207 + 27 = ?
    3. 523 * 6 = (500 + 20 + 3)6 = 5006 + 206 + 36 =?

    Нам остается только перемножить однозначные числа, некоторые из которых с нулями и сложить полученные результаты.

    Для проработки этой техники решите следующие примеры:

    1. 123 * 4 =
    2. 236 * 3 =
    3. 154 * 4 =
    4. 490 * 2 =
    5. 145 * 5 =
    6. 990 * 3 =
    7. 555 * 5 =
    8. 433 * 7 =
    9. 132 * 9 =
    10. 766 * 2 =
    11. 865 * 5 =
    12. 1270 * 4 =
    13. 2425 * 3 =
    14. 9425 * 2 =

    15. Делимость числа на 2, 3, 4, 5, 6 и 9

    Проверьте числа: 523, 221, 232

    Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

    Например, возьмем число 732, представим его как 7 + 3 + 2 = 12. 12 делится на 3, а значит, число 372 делится на 3.

    Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 3:

    12, 24, 71, 63, 234, 124, 123, 444, 2422, 4243, 53253, 4234, 657, 9754

    Число делится на 4, если число, состоящее из последних двух его цифр, делится на 4.

    Например, 1729. Последние две цифры образуют 20, которое делится на 4.

    Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 4:

    20, 24, 16, 34, 54, 45, 64, 124, 2024, 3056, 5432, 6872, 9865, 1242, 2354

    Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

    Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 5 (самое легкое упражнение):

    3, 5, 10, 15, 21, 23, 56, 25, 40, 655, 720, 4032, 14340, 42343, 2340, 243240

    Число делится на 6, если оно делится и на 2 и на 3.

    Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 6:

    22, 36, 72, 12, 34, 24, 16, 26, 122, 76, 86, 56, 46, 126, 124

    Число делится на 9, если сумма его цифр, делится на 9.

    Например, возьмем число 6732, представим его как 6 + 7 + 3 + 2 = 18. 18 делится на 9, а значит, число 6732 делится на 9.

    Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 9:

    9, 16, 18, 21, 26, 29, 81, 63, 45, 27, 127, 99, 399, 699, 299, 49

    Игра «Быстрое сложение»

    1. Ускоряет устный счет
    2. Тренирует внимание
    3. Развивает творческое мышление

    Отличный тренажер для развития быстрого счета. На экране дана таблица 4х4, а над ней показаны числа. Самое большое число нужно собрать в таблице. Для этого нажмите мышкой на два числа, сумма которых равна этому числу. Например, 15+10 = 25.

    Играть сейчас

    Игра "Быстрый счет"

    Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

    Играть сейчас

    Игра "Угадай операцию"

    Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

    Играть сейчас

    Игра "Упрощение"

    Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

    Играть сейчас

    Задание на сегодня

    Решить все примеры и тренироваться минимум 10 минут в игре Быстрое сложение.

    Очень важно отработать все задания этого урока. Чем лучше Вы будете выполнять задания, тем больше будет пользы. Если Вы чувствуете, что Вам мало заданий - можете сами составлять себе примеры и решать их и тренироваться в математические развивающие игры.

    Урок взят из курса "Устный счет за 30 дней"

    Научитесь быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. Научу использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

    Другие развивающие курсы

    Деньги и мышление миллионера

    Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

    Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.


    Скорочтение за 30 дней

    Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.


    Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

    Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

    После прохождения курса ребенок сможет:

    1. В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова
    2. Научится запоминать на более длительный срок
    3. Увеличится скорость воспоминания нужной информации


    Супер-память за 30 дней

    Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.


    Как улучшить память и развить внимание

    Бесплатное практическое занятие от advance.


    Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

    Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.


    cepia.ru

    Конспект по математике на тему "Приемы быстрого счета"

    Код 108010

    Математика

    Приемы быстрого счета

    Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

    Бискамжинская средняя общеобразовательная школа

    Математика

    Приемы быстрого счета

    Автор:

    Щекочихина Дарья, 8 класс

    Руководитель:

    Романова Татьяна Павловна,

    учитель математики.

    Бискамжа, 2014

    Содержание

    1. Введение

    2. Частные случаи умножения и деления

    3. Умножение на 11 и 111

    4. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

    5. Умножение чисел, заключенных между 10 и 20

    6. Умножение двузначных чисел, когда оба числа начинаются и оканчиваются цифрой 5 или одно число состоит из одних пятерок можно выполнять по формуле:

    7. Способы умножения для тех, кто не знает таблицу умножения.

    8. Русский способ умножения

    9. Таблица умножения на пальчиках

    10. Диагональное умножение

    11. Заключение

    12. Литература

    3

    Мы живем в быстро меняющемся мире. Чтобы идти в ногу со временем, нужно обладать определенным набором знаний, умений, навыков, которые развивают в школе. К ним я отношу вычислительные навыки. Может возникнуть вопрос: «Зачем считать устно, если есть микрокалькулятор?» Но МК не может быть под рукой все время, да и умение считать на нем требует тоже определенных знаний, т.е. хорошо, когда своя голова всегда находится при себе.

    Особый разговор об изучении и запоминании таблицы умножения. Учить ее начинают со 2 класса, но даже в 7, 8 ,9 классах есть учащиеся, которые не знают всю таблицу умножения. А незнание таблицы умножения приводит к плохому усвоению дальнейшего материала по математике, к неумению выполнить правильно даже несложные вычисления. Пользование МК на уроках по данному предмету запрещается, т.к. математику сдают в обязательном порядке в выпускных классах, где нельзя МК даже приносить в место сдачи экзамена.

    Обозначенную проблему можно разрешить, если использовать различные способы и приемы умножения.

    За многие годы развития общества математики придумали много способов умножения, которые довольно просто дают результат.

    Цель: изучить различные приемы и правила для упрощения вычислений.

    Задачи:

    1.найти и разобрать различные способы умножения чисел, научиться демонстрировать некоторые из этих способов;

    2. научить пользоваться данными способами учащихся;

    3.Научиться работать с информацией: искать, отбирать, оформлять найденный материал.

    Актуальность: Полученные знания позволят заинтересовать учащихся математикой (изученный материал применим и для учеников начальной школы, и для старшеклассников), позволят мне избавиться от долгих и скучных вычислений при решении задач, а также помогут успешно сдать на следующий год ГИА по математике.

    4

    Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.

    Например: 213·4 = (213·2) · 2 = 426· 2 = 852

    Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

    Например: 124:4 = (124:2) :2 = 62:2 = 31

    • Умножение и деление на 5,50,500,…

    Чтобы число умножить на 5, 50, 500…нужно умножить его на 10, 100, 1000, … и разделить на 2.

    Например: 138·5 = (138·10) : 2 = 1380 :2 = 690

    Чтобы разделить число на 5, 50,500, … нужно разделить его на 10,100, 1000,…и умножить на 2.

    Например: 10800 : 50 = 10800:100·2 =216

    • Умножение на 25, 250,2500,…

    Чтобы число умножить на 25, 250, 2500, … нужно умножить его 100,1000,10000,… и полученный результат разделить на 4.

    (На 4 делятся - те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4)

    Например: 124 × 25 = 124 : 4 × 100 = 3100

    1716 × 25 = 1716 : 4 × 100 = 42900

    1716 × 25 = 1716 : 4 × 100 = 42900

    • Умножение на 125, 1250, 12500,…

    Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. ( На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).

    Например: 32 × 125 = 32 : 8 × 1000 = 4000

    3168 × 125 = 3168 : 8 × 1000 = 396 000

    Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

    Например: 24·1,5 = 24 + 12 = 36

    129·1,5 = 129 + 64,5 = 193,5

    Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.

    Например: 249·9 = 2490 – 249 = 2169

    Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0

    и прибавляют исходное число.

    Например:

    47·11 = 470 + 47 = 517; 241·11 = 2410 + 241 = 2651

    Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре

    5

    прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

    94 ´ 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034

    73 ´ 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803

     Умножим 42 на 111.

    Мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя 42 (4…2), предварительно найдя сумму его цифр: 4+2=6, и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды:

    4…2=4662,

    42 · 111=4662

    36x111= 3996; 72x111=7992

    35x111=3885; 61x111=6771

    Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

    652 = (6·7)25= 4225

    Например: 952 =9025; 1252 = 15625

    можно выполнять по формуле:

    АС·ВК = (АС + К) ·10 + С·К

    Например:

    18·16 = (18 + 6) ·10 + 8·6 = 240 + 48 = 284

    • Умножение двузначных чисел, когда оба числа начинаются и оканчиваются цифрой 5 или одно число состоит из одних пятерок можно выполнять по формуле:

    (АС) ´ (ВЕ) = (А´ В + полусумма не пятерок) ´ 100 + С´ Е

    Пример:

    52 · 57 = (25 +(2+7):2) · 100+14= (25 +4,5) · 100 +14 =2950 +14 =2964;

    65 · 35 = (18+(6+3):2) · 100+25=(18+4,5) ·100+25=2250+25=2275

    55 · 87=(40+(8+7):2) · 100+35=(40+7,5) · 100+35=4750+35=4785

    Графический способ умножения.

    Например, 2·3 = 6. Для этого рисуют 3 вертикальные и 2 горизонтальные линии так, чтобы они пересекались. Количество точек пересечения – результат.

    Умножим: 12х321

    Считаем точки пересечения прямых, при этом двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2,5,8,3. Число – результат будем

    собирать слева направо (против часовой стрелки) и получим результат 3852

    6

    Умножим 24х34

    В этом примере есть нюанс: при подсчете точек в первой части получилось 16. Единицу отправляем, т.е. прибавляем к точкам второй части (20 + 1)

    Плюсы данного способа – наглядность. Минусы – при устном счете каждый раз выполнять рисунок – это потеря времени. Вывод: пользоваться можно, со временем таблица запомнится через эту наглядность.

    Способ этот был в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа и таблица умножения в этом деле без надобности.

    7

    Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом одновременно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и есть результат (пример1). Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не меняется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

    1 пример: 16·29 = 469

    2 пример: 21· 12 = 252

    3 пример: 6·215 = 1290

    16· 29 = 469 21· 12 = 252 6· 215 = 1290

    8

    58

    4

    116

    2

    232

    1

    464

    3

    430

    1

    860

    10

    24

    5

    48

    2

    96

    1

    192

    192 + 48 + 12 = 252 430 + 860 = 1290

    Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечетное число? В этом случае от нечетного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столба, которые стоят против нечетных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением (рисунок 2 и 3). Иными словами, все строки с четными левыми числами зачеркиваем, а затем суммируем не зачеркнутые числа правого столбца.

    Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252.

    Правильность приема станет ясна, если принять во внимание, что:

    5×48 = (4 +1) × 48 =4×48 +48;

    21× 12 = (20 +1) ×12 = 20×12 + 12.

    Ясно, что числа 48, 12, утраченные при вычеркивании, необходимо прибавить к результату последнего умножения.

    Если до 5 таблицу умножения можно еще быстро заучить, то умножение на 6, 7, 8, 9 считается камнем преткновения для многих.

    Поэтому предложенный способ помогает быстро освоить таблицу умножения на данные числа.

    8

    Способ умножения на 9.

    Положить все 10 пальцев веером перед собой ладошками вниз и мысленно пронумеруем их слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить умножение, допустим 9×6. Загибаем 6-й слева палец. Слева от этого пальца будет 5 пальцев, это- число десятков, а справа от него будет 4 пальца – это число единиц. Итак: 9×6 =54

    Можно вместо 10 пальцев использовать 10 клеток в тетради:

    9×8=72 , найти 8 клетку (можно ее зачеркнуть), посмотреть слева от 8 клетки- 7 клеток (7 десятков), справа- 2 (единицы), т.е. получаем 72.

    Способ умножения на 8.

    Умножим например, 8 на 4. загибаем 4 палец, и за ним 5 палец (4 +1).Слева осталось 3 не загнутых пальца, значит надо загнуть еще 3 пальца после пальца с номером 5(это будут пальцы с номерами 6, 7 и 8). Осталось 3 пальца не загнуто слева (3 десятка) и 2 пальца справа (2 единицы). Получилось 32.

    Плюсы – очень понравился этот способ, жаль, что в свое время не знала о нем. Минусов нет.

    Вывод: применять можно всегда и очень успешно.

    9

    Умножим 47×28. Чертим таблицу 2х2, проводим диагонали во всех клетках. Подписываем над таблицей число 47 поразрядно, справа около таблицы пишем поразрядно число 28. Перемножаем цифры строки и столбца и записываем результат в соответствующую клетку таблицы по разные стороны относительно диагонали: над диагональю пишем разряд десятков а, а под диагональю – единиц. В данном примере получилось 4 диагонали. Складываем числа по каждой диагонали, начиная с нижней правой, в направлении к верхней левой, и пишем результат под диагональю. Если в результате сложения чисел одной диагонали получилось двузначное число, то число десятков прибавляем к результату следующей диагонали. А результат считываем в обратном направлении. В нашем случае результатом будет число 1316.

    4 7

    1

    8

    1
    4

    2

    13

    3

    2

    5

    6

    8

    11

    6

    Результат: 1316

    Умножим 1229x374. В данном случае таблица имеет размеры 4х3, а алгоритм вычисления тот же.

    1

    2

    2

    9

    3

    6

    6

    2

    7

    3

    4

    1

    7

    1

    4

    1

    4

    6

    3

    7

    15

    1

    4

    2

    8

    1

    8

    3

    6

    4

    19

    26

    14

    6

    Результат: 459646

    10

    Заключение.

    Работая над этой темой, я узнала, что существует много различных, способов забавных и интересных способов умножения (более 30). ). Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

    Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

    Я думаю, что данная работа может быть использована для занятий на кружках, дополнительных занятиях во внеурочное время, как дополнительный материал. Думаю, что это привлечет внимание и интерес учащихся к математике.

    11

    Литература

    1.Перельман Я. И. Быстрый счёт. Приемы быстрого счета

    2. Л.Г. Петерсон – тетрадь по математике 5 класс

    3. Шарыгин И.Ф. Математика. Задачи на смекалку. 2000г.

    4. Шевкин А.В.Школьная олимпиада по математике. 2003г.

    5. Ресурсы Интернета.

    Размещено на

    12

    infourok.ru

    Татьяна Мельничук | Приёмы быстрого счёта

    Приёмы быстрого счёта

    Милена Кандыбова проводит занятие на тему «Приёмы быстрого счёта» для обучающихся 11 класса

    Трудно сказать, когда появились числа и как человек научился считать. Однако, наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек научился считать, производить вычисления. Для счёта использовали пальцы рук, ног, различные предметы. Например, индейцы изображали числа с помощью узелков на верёвках. Первым способом  «записи» чисел были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. В конце-концов были придуманы цифры. Люди научились складывать и вычитать, затем умножать и делить, причём способы вычислений не всегда были и остаются удобными и понятными.

    Большинство обучающихся и взрослых испытывают затруднения при выполнении вычислений. Многие неоправданно часто используют калькулятор, а вот устно же считать почти никто не умеет. Приёмам рациональных вычислений в учебной литературе уделяется крайне мало внимания. При этом, например, сдача ЕГЭ и ГИА предполагает наличие у учеников умений и навыков рациональных вычислений.

    Предлагаю вниманию читателя выдержки из проекта «Приёмы быстрого счёта» ученицы 5-А класса новосмолинской МАОУ СОШ №48 Милены Кандыбовой, в которых описаны удобные методы рациональных устных вычислений:

    Проект «Приёмы быстрого счёта» Презентация к проекту Продукт проекта

    На основе данного проекта в 5-х и 11-м классах новосмолинской МАОУ СОШ №48 были проведены занятия на соответствующую тему, фоторепортажи которых доступны в статьях «Занятие в 5 классах «Приёмы быстрого счёта»» и «Занятие в 11 классе «Приёмы быстрого счёта»».

    Умножение и деление на 4

    Чтобы число умножить на , его дважды удваивают.

    Например:

       

    Чтобы число разделить на , его дважды делят на два.

    Например:

       

    Умножение и деление на 5, 50, 500…

    Чтобы число умножить на нужно умножить его на и разделить на .

    Например:

       

    Чтобы разделить число на нужно разделить его на и умножить на .

    Например:

       

    Умножение на 25, 250, 2500…

    Чтобы число умножить на нужно умножить его на , и полученный результат разделить на (на делятся только те числа, у которых две последние цифры представляют собой число, делящееся на ).

    Например:

       

       

       

    Деление на 25, 250, 2500…

    Чтобы выполнить деление числа на и т.д. это число надо разделить на и т.д. и умножить на .

    Например:

       

    Умножение на 125, 1250, 12500,…

    Чтобы число умножить на надо это число разделить на и умножить на . (На делятся только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на ).

    Например:

       

       

    Деление на 125, 1250, 12500,…

    Чтобы число разделить на надо это число разделить на и умножить на .

    Например:

       

       

    Умножение на 1.5

    Чтобы умножить число на нужно к исходному числу прибавить его половину.

    Например:

       

       

    Умножение на 9

    Чтобы умножить число на , к нему приписывают и отнимают исходное число.

    Например:

       

    Умножение на 11

    Чтобы умножить число на . К нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.

    Например:

       

       

    Чтобы двузначное число умножить на , сумма цифр которого не превышает , надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

    Например:

       

       

    Чтобы умножить на двузначное число, сумма цифр которого или больше , надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

    Например:

       

       

    Умножение двухзначного числа на 111

    Умножим на . Мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя (), предварительно найдя сумму его цифр: , и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды.

    Например:

       

       

    Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

    Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающегося цифрой (например, ), умножают число его десятков () на число десятков, увеличенное на (на ), и к полученному числу приписывают .

    Например:

       

    В продолжение темы приёмов быстрого счёта рекомендую прочесть книгу «Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы», русский перевод которой увидел свет в 2015 году. В аннотации к книге сказано: «Эта книга научит вас считать в уме быстрее, чем на калькуляторе, запоминать большие числа и получать от математики удовольствие.

    Любой человек может умножать, делить, возводить в степень и производить другие операции над большими числами в уме и с большой скоростью. Для этого не нужно решать десятки тысяч примеров и учиться годами — достаточно использовать простые приемы, описанные в этой книге. Они доступны для людей любого возраста и любых математических способностей.

    Эта книга предназначена для всех, кто любит математику, и для тех, кто хочет научиться молниеносно производить в уме любые вычисления».

    Подробные библиографические данные книги доступны в каталоге «Библиотеки Татьяны Мельничук».

    Вернуться назад...

    МЕТКИ >быстрый счёт, вычисления, математика

    tmel.ru

    План-конспект по алгебре на тему: Мастер класс "Приемы быстрого счета"

    ПРИЕМЫ БЫСТРОГО СЧЕТА

    В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.  

    Большинство наших детей считают плохо. То ли думать им лень (зачем загружать себя лишней работой, если есть калькуляторы). Приемов рациональных вычислений в учебниках мало. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы все дальше и дальше уводят учеников от простых, понятных навыков устного счета.

    Я выбрала тему «Приемы быстрого счета» потому, что я люблю математику и хотела бы научить вас считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

    .Цели  работы: изучить методы и приемы быстрого счета

    Таблица умножения на «пальцах».

    Таблица умножения - те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах дается совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы "щелкаем" примеры на умножение: 2·3, 3·5, 4·6 и так далее. С возрастом, правда, все чаще забываемся на множителях ближе к 9.

    Однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

    Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54.

    Рассмотрим приемы умножения чисел.

    Умножение двузначного числа на 11

    1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.    

    72* 11 = 7 (7+2) 2 = 792;

    35 *11 = 3 (3+5) 5 = 385;

    81*11=891.        45*11=495

    2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10 или равна.

    Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

    78* 11 = 7 (7+8) 8 = 7(13)8 = 858.

    94* 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034

    82*11=8(8+2)2=8(10)2=902

    93*11=9(12)3=1023

    Умножение на число 111, 1111 и т.д, зная правила умножения двузначного числа на число 11

    Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

    Пример:

    24 х 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов - 2)

    24* 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов - 3)

    При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

    72 х 111111 = 7999992 (количество шагов - 5)

    Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.

    Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.

    х 11111111 = 677777771

    Эти вычисления можно легко произвести в уме.

    35*111=3885

    43*1111=47773

    Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна 10 или больше 10

    Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

    Примеры:

    48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328.

    В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5.

    Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.

    56 х 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216

    67 х 1111 = 6(6+7)(6+7)(6+7)7= 6(13)(13)(13)7 = 74437

    Умножение двузначного числа на 101

    Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

    57* 101 = 5757  42*101=4242

    Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

    4545

    Ч

    оВозведение в квадрат чисел начинающихся на 5.

    быстрый Феномен особых способностей в устном счёте  встречается с  давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в  частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

    До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный.

     Они добивались успеха сочетания природные способности с упорным, трудом .

    Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики  Яковом Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета". История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

    Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).

    Разберем на примере: 633 умножить на 11.

    Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

    Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата

    633 * 11

    3

    Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 3 + 3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.

    * 11

    63

    Применим правило еще раз: 6 + 3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:

    * 11

    963

    Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

    * 11

    6963

    Ответ: 6963

    476*11=4(11)(13)6=5236

    348*11=3(7)(12)8=3828

    4218*11=4(4+2)(2+1)(1+8)8=46398

    7321*11=7(7+3)(3+2)(2+1)1=7(10)(5)(3)1=80531

    чиСистема быстрого счета по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить  надо знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, надо в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучает их и учится применять на практике.


    Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.

    Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

    В течении жизни мы решаем множество задач. И если каждую отдельно решённую задачу рассматривать, как распустившийся цветок, то в результате мы получим огромный, красивый букет.

      Пусть все задачи, которые встают перед вами будут решены, а букет будет только из распустившихся цветов.

    Устный счёт — необходимый этап проведения каждого урока. Однообразно проводимая устная работа притупляет интерес учащихся к этому виду деятельности. Поэтому я применяю разнообразные приёмы проведения устного счёта.

    Например, в 5–6 классах использую карточки — «фонарики». У детей на партах карточки двух цветов: зелёный и красный. После решения задания все ученики «зажигают фонарики»: зелёный — если согласен с ответом и красный, если нет. В зависимости от ситуации разбираем полученные результаты, чтобы каждый ученик определился с правильным ответом. Такая форма проведения устной работы активизирует внимание, нацеливает на работу, даёт возможность высказываться каждому ученику. А учителю легче обнаружить, кто усвоил данную тему, а кто нет.

    .

    nsportal.ru

    Проект: "Приемы быстрого устного счета"

    Управление образования городского округа «Охинский»

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

    средняя общеобразовательная школа № 1 г. Охи

    Приёмы

    устного счёта

    Работу выполнили:

    Учащиеся 5 класса «А»

    Турбоевская Ева

    Безинский Станислав

    Руководитель проекта:

    учитель математики

    Кравчук Мария Аркадьевна

    2017г.

    СОДЕРЖАНИЕ

    ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………...

    3

    Глава 1. ИСТОРИЯ СЧЁТА ………………………………………………….....

    4

    Глава 2. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ НА ПАЛЬЦАХ …………………………

    2.1 Таблица умножение на 9

    2.2 Умножение чисел от 6 до 9

    6

    Глава 3. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ……………………….....

    3.1 Умножение числа на 9

    3.2 Умножение двузначных чисел на 11

    3.3 Умножение двузначных чисел на 111, 1111 и т. д.

    3.4 Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.

    3.5 Умножение на 5; 25; 125

    3.6 Умножение на 22, 33, … , 99

    3.7 Умножение на 37

    3.8 Умножение числа на 1,5

    7

    Глава 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА …………...

    4.1 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5

    4.2 Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5

    9

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….....

    10

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………

    11

    ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ………………………………………………………………..

    12

    ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ………………………………………………………………..

    13

    ВВЕДЕНИЕ

    Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

    Актуальность нашего проекта состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно.

    А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.

    Цель проекта: изучить приемы устного счета, показать необходимость их применения для упрощения вычислений.

    В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

    • Исследовать, применяют ли школьники приемы устного счета.

    • Изучить приемы устного счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.

    Объект исследования: приемы устного счета.

    Предмет исследования: процесс вычислений.

    Гипотеза: если показать, что применение приемов быстрого устного счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

    При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы: опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа.

    Для начала, мы провели анкетирование в 5-х и 6-х классах нашей школы. Задавали ребятам простые вопросы. Зачем нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать? Знаешь ли ты приемы устного счета? Хотели бы вы узнать приемы быстрого устного счета, чтобы быстро считать? Приложение 1

    В опросе приняли участие 105 человек. Проанализировав результаты, мы сделали вывод, что большинство учеников полагают, что умение считать пригодится в жизни и чтобы быть грамотным, особенно при изучении математики (100%), физики (68%), химии (50%), информатики (63%). Приемы устного счета знает небольшое количество учащихся и почти все хотели бы научиться быстрому устному счёту (63%). Приложение 2

    Изучив ряд статей, мы открыли для себя очень интересные исторические факты о необычных способах устного счёта, а также много закономерностей и неожиданных результатов. Поэтому в своей работе мы покажем, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения этих действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

    Глава 1. ИСТОРИЯ СЧЁТА

    Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

    Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
           И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

    Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

    У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

    Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

    С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

    Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».

    Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

    До сих пор я рассказывал об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

    Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

    В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

    За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

    Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

    При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

    Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

    Глава 2. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ НА ПАЛЬЦАХ

    2.1 Таблица умножение на 9.

    Движение пальца – это один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо загнуть тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять. Число пальцев, лежащих слева от загнутого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа, обозначает число единиц полученного произведения.

    3 · 9= 27

    Попробуйте сами умножить с помощью этого способа: 6 · 9, 9 · 7.

    2.2 Умножение чисел от 6 до 9.

    Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

    Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

    Пример: 8 ∙ 9 = 72

    Таким образом, 7 · 7 = 49.

    Глава 3. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

    3.1 Умножение числа на 9.

    Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.

    Например: 72 · 9 = 720 – 72 = 648.

    3.2 Умножение двухзначных чисел на 11.

    Чтобы умножить число на 11 надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

    45 ∙ 11 = 495

    53 ∙ 11 = 583

    «Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

    Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и третью цифру оставить без изменения.

    87 ∙ 11 = 957

    94 ∙ 11 = 1024

    Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел

    3.3 Умножение двухзначных чисел на 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

    Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить данные цифры и записать их сумму между раздвинутыми цифрами соответствующее количество раз. Заметьте, количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

    Пример:

    24 · 111=2 (2+4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов - 2)

    24 · 1111=2 (2+4) (2+4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов - 3)

    42 · 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)

    Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.

    Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

    Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

    Примеры:

    86 · 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

    В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

    3.4 Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..

    Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

    32 · 101 = 3232;                 

    47 · 101 = 4747;

    324 · 1001 = 324 324;      

    675 · 1001 = 675 675; 

    6478 · 10001 = 64786478;

    846932 · 1000001 =  846932846932.

    3.5 Умножение на 5; 25; 125.

    Сначала умножить на 10, 100, 1000 и результат разделить на 2, 4, 8

    32 · 5 = 32 · 10: 2 = 320: 2 = 160

    84· 25 = 84 · 100: 4 = 8400: 4 = 2100

    24 ·125 = 24 · 1000: 8 = 24000: 8 = 3000

    Можно иначе: 32 · 5 = 32: 2 ·10 = 160

    3.6 Умножение на 22, 33, … , 99

    Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 =  4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

      Примеры:

      18 · 44 = 18 · 4 · 11 = 72 · 11 = 792;

      42 · 22 = 42 · 2 · 11 = 84 · 11 = 924;

      13 · 55 = 13 · 5 · 11 = 65 · 11 = 715; 

      24 · 99 = 24 · 9 · 11 = 216 · 11 = 2376.

    3.7 Умножение на 37

    Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число  разделить на 3 и умножить на 111.

    Примеры:

    24 · 37 = (24 : 3) · 37 · 3 = 8 · 111 = 888;  

    1. · 37 = (18 : 3) · 111 = 6 · 111 = 666.

    3.8 Умножение числа на 1,5.

    Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

    Например:

    34 · 1,5 = 34 + 17 = 51;

    146 · 1,5 = 146 + 73 = 219.

    Глава 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА

    4.1 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

    Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.

    25 · 25 = 625

    2 · (2 + 1) = 2 · 3 = 6, пишем 6; 5 · 5 = 25, записываем 25.

    35 · 35 = 1225

    3 · (3 + 1) = 3 · 4 = 12, пишем 12; 5 · 5 = 25, записываем 25.

    4.2 Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

    Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

    Например:
    522 = 2704, т.к. 25 +2 = 27 и 22 = 04;
    582 = 3364, т.к. 25 + 8 = 33 и 82 = 64.

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Как мы видим, быстрый устный счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

    Все рассмотренные нами методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

    Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

    Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

    Для нас было необычно, что приложив немного усилий, мы теперь сможем сами вести устный счёт и поделиться этими познаниями с одноклассниками на кружке, со взрослыми и со знакомыми.

    В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого устного счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

    Мы выбрали тему «Приемы устного счета» потому, что любим математику и хотели бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

    1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.

    2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

    3. Устный счет, Камаев П. М. 2007г.

    4. «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов

    5. «Устный счет». Э.Л.Струнников

    6. Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.

    7. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

    8. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

    Приложение 1

    АНКЕТА

    1. Зачем нужно уметь считать?

    а) пригодится в жизни, например, считать деньги;

    б) чтобы хорошо учиться в школе; в) чтобы быстро решать;

    г) чтобы быть грамотным; д) не обязательно уметь считать.

    2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

    а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка; е) физическая культура;

    ж) ОБЖ; з) информатика; и) география; к) русский язык; л) литература.

    3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

    а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.

    4. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

    а) да; б) нет.

    Приложение 2

    СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

    1) Зачем нужно уметь считать?

    Пригодится в жизни

    Чтобы хорошо учиться в школе

    Чтобы быстро решать

    Чтобы быть грамотным

    Не обязательно уметь считать

    Количество учащихся

    65

    32

    36

    60

    0

    %

    62%

    30%

    34%

    57%

    0%

    2) При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

    Математика

    Физика

    Химия

    Технология

    Музыка

    Физическая культура

    ОБЖ

    Информатика

    География

    Русский язык

    Литература

    Количество учащихся

    105

    71

    55

    37

    5

    26

    7

    66

    39

    18

    12

    %

    100%

    68%

    52%

    35%

    5%

    25%

    7%

    63%

    37%

    17%

    11%

    3) Знаешь ли ты приёмы быстрого счёта?

    Да,

    много

    Да,

    несколько

    Нет,

    не знаю

    Количество учащихся

    18

    21

    66

    %

    17%

    20%

    63%

    4) Хотели бы вы узнать приёмы быстрого счёта, чтобы быстро решать?

    Да

    Нет

    Количество учащихся

    91

    9

    %

    91%

    9%

    infourok.ru


    Смотрите также

    Поиск

    Посетите наши страницы в социальных сетях!

    ВКонтакте.      Одноклассники.     
    Вверх
    ©    РЕБЕНКУ-ГОД.РУ   //    Карта сайта   //    XML